Question

已知偶函数f（x）在R上的任一取值都有导数，且f′（1）=1，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在x=-5处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

Answer

由ff（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），再两边求导得f′（x+4）=f′（x），结合f（x）为偶函数，得到一个式子，对此式再两边求导，由此和条件可求即f′（-5）的值即为所求切线的斜率．
【解析】
由题意知，由f（x+2）=f（x-2），得f（x+4）=f（x），
∵f（x）在R上可导，
∴f′（x+4）（x+4）′=f′（x）（x）′，即f′（x+4）=f′（x）①，
∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
∴f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=-1，即所求切线的斜率为-1，
故选D．