Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求证：面DAF⊥面BAF．
（2）求钝二面角B-FC-D的大小．

Answer

（1）要证两个平面互相垂直，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，由四边形ABCD是矩形可知AD⊥AB，再由平面ABFE⊥平面ABCD可得AD⊥平面BAF，则结论得证；
（2）分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，标出用到的点的坐标，求出两个平面BFC与CFD的一个法向量，利用平面法向量所成的角求二面角的大小．
（1）证明：如图，
∵平面ABFE⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面BAF．
又∵AD⊂面DAF，
∴面DAF⊥面BAF；
（2）【解析】
分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、F（0，1，1）
∵，
设为平面CDFE的一个法向量，则，，令x=1，得z=1，
所以．
由平面ABEF⊥平面ABCD知，AF⊥BC，在△AFB中，，AB=2，BF=，∴AF⊥面FBC．
∴为平面BCF的一个法向量，
∴，
∵二面角B-FC-D的平面角为钝角，
∴钝二面角B-FC-D的大小120°．