Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分别是AA₁，AC，BB₁的中点，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

Answer

（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG，要证CG∥平面BEF，只需证明直线CG平行平面BEF内的直线DF即可；
（Ⅱ）要证平面BEF⊥平面A1C1G，只需证明平面BEF的直线DF，垂直平面A1C1G内的两条相交直线A1C1、C1G，即可证明DF⊥平面A1C1G，从而证明平面BEF⊥平面A1C1G
证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．
∵E，G分别是AA1，BB1的中点，
∴AE∥BG且AE=BG，
∴四边形AEGB是矩形．
∴D是AG的中点（3分）
又∵F是AC的中点，
∴DF∥CG（5分）
则由DF⊂面BEF，CG⊄面BEF，得CG∥面BEF（7分）
（注：利用面面平行来证明的，类似给分）

（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-AB1C1中，C1C⊥地面A1B1C1，
∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1B1C1=∠ABC=90O，即C1B1⊥A1C1，
∴A1C1⊥面B1C1CB（9分）
而CG⊂面B1C1CB，
∴A1C1⊥CG（11分）
又CG⊥C1G，
由（Ⅰ）DF∥CG，
∴A1C1⊥DF，DF⊥C1G
∴DF⊥平面A1C1G（13分）
∵DF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面A1C1G．（14分）