Question

（1）已知展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．
（2）设，
①用q和n表示A_n；
②求证：当q充分接近于1时，充分接近于．

Answer

（1）先求得展开式的通项公式，根据展开式中前3项系数的和为129，求得n的值，令x的幂指数等于零，自然数r无解，可得展开式中无常数项．令x的幂指数等于1，解得自然数r=6，由此可得展开式的一次项．
（2）①先求得 an=1+q+q2+…+qn-1=，可得An =[（Cn1+Cn2+…+Cnn）-（Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn）]，再利用二项式系数的性质化简为[2n-（1+q）n]．
②由①求得 ，当q充分接近于1时，接近于0，由二项式定理知充分接近于，可得充分接近，命题得证．
【解析】
（1）二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=••2r•=•，
展开式中前3项系数的和为 ++=129，解得n=8．
故通项公式为 Tr+1=•，令 =0，自然数r无解，故展开式中没有常数项．
令 =1，解得自然数r=6，故有一次项，且一次项为1792x．
（2）①因为q≠1，所以，an=1+q+q2+…+qn-1=．
于是，An=++…+ Cnn =[（Cn1+Cn2+…+Cnn）-（Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn）]
={（2n-1）-[（1+q）n-1]}=[2n-（1+q）n]．
②∵，∴，
当q充分接近于1时，接近于0，由二项式定理知充分接近于，
所以充分接近，故充分接近，命题得证．