Question

某项计算机考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试合格的概率为，假设各次考试合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ζ，求随即变量ζ的分布列和数学期望．

Answer

（I）设该人参加科目A考试合格和补考为事件A1、A2，参加科目B考试合格和补考合格为事件B1、B2，事件A1、A2、B1、B2互为独立，设该人不需要补考就可以获得证书为事件C，则C=A1B1，然后根据相互独立事件的概率乘法公式可求出所求；
（II）ζ的取值可能为2，3，4，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出相应的概率，最后根据离散型随机变量的数学期望公式解之即可．
【解析】
设该人参加科目A考试合格和补考为事件A1、A2，参加科目B考试合格和补考合格为事件B1、B2，事件A1、A2、B1、B2互为独立
（I）设该人不需要补考就可以获得证书为事件C，则C=A1B1，
P（C）=P（A1B1）=P（A1）P（B1）==
（II）ζ的取值可能为2，3，4，则
P（ζ=2）===；
P（ζ=3）=++==
P（ζ=4）=+==
所以，随即变量ξ的分布列为

ξ 2 3 4
P

所以．         …（12分）