Question

如图，已知：椭圆=1（a＞b＞0）的上顶点为P，离心率，长轴长为；点M为抛物线y²=6x上一动点，过M作抛物线的切线l与椭圆相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）若∠APB为钝角，试求直线AB的斜率范围．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，分别代入椭圆、抛物线方程，利用韦达定理，及∠APB为钝角，即可求直线AB的斜率范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意，椭圆的离心率，长轴长为，
∴，c=2
∴=2
∴椭圆的方程为…（5分）
（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；
若斜率存在，则可设直线l：y=kx+t代入化简得：（3k2+1）x2+6ktx+3t2-12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2t，…（8分）
△=36k2t2-4（3k2+1）（3t2-12）＞0得：12k2-t2+4＞0…（1）…（9分）
y=kx+t代入y2=6x得：k2x2+（2kt-6）x+t2=0
△=4k2t2-24kt+36-4k2t2=0，∴…（2）…（10分）
∵∠APB为钝角，∴
∴
化简得：t2-t-2＜0解得：-1＜t＜2…（3）…（13分）
由（1）（2）得，∴
由（2）（3）得  （-1＜t＜2）得：
∴…（15分）