Question

已知函数f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记，求证：（n≥2，n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）可得f′（x）=ex+2x-1＞0，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）问题等价于|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；只需[f（x）]min=t-1，可得最小值f（0）=t-1，进而可得t值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；可得ex＞1-x2+x，进而可得当n≥2，n∈N*时，，叠加得：．
【解析】
（Ⅰ）可得f′（x）=ex+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三个零点，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；
由f′（x）=ex+2x-1=0得：x=0
当x＜0时，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以，只需[f（x）]min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
f（x）＞f（0）∴ex+x2-x＞1，∴ex＞1-x2+x
当n≥2，n∈N*时，，又e＞2
叠加得：，
∴当n≥2，n∈N*时，成立．…（15分）