Question

如图，已知直线l₁：y=2x+m（m＜0）与抛物线C₁：y=ax²（a＞0）和圆C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

Answer

（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
（3）设直线MF：y=kx+，代入y=得：，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，最后利用函数思想即可求得△NPQ的面积S的取值范围．
【解析】
（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径 ．（1分）
由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离 ．（3分）
即 ，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l1与抛物线的相切点为A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得 ，．（6分）
代入直线方程得：，∴
所以m=-6，．（7分）
（2）由（1）知抛物线C1方程为 ，焦点 ．（8分）
设 ，由（1）知以A为切点的切线l的方程为 ．（10分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为 （11分）
所以 ，，（12分）
∴（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线 上．（14分）
（3）设直线MF：y=kx+，代入y=得：
，得x1+x2=6k，x1x2=-9．
S△NPQ=|NF||x1-x2|=×3×=9
∵k≠0，∴S△NPQ＞9，
△NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．