Question

定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．已知f（x）=ax²-|x|+2a-1
（1）若a=1，判断函数f（x）在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由．
（2）若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer

（1）求出断函数f（x）在[1，2]上的最小值，利用定义，可以判断；
（2）对a进行讨论，确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值，即可求得结论．
【解析】
（1）∵a=1，x∈[1，2]
∴，
∴f（x）min=1≤1，
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2-x+2a-1…（5分）
①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）
②若a≠0，则，函数的对称轴为直线
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=6a-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）min=f（1）=3a-2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1
∴…（8分）
当，即时，
若函数f（x）具有“DK”性质，则得
∴…（9分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）min=f（2）=6a-3≤1，满足函数f（x）具有“DK”性质，∴…（10分）
综上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，则a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）