Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

Answer

（1）写出等差数列的第2项、第5项、第14项，由其分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项列式求出d，则数列{an}的通项公式可求，然后求出数列{bn}的第2项、第3项，则其公比可求，利用求通项公式；
（2）在中取n=1求出c1，取n≥2得另一递推式，两式作差后可求数列{cn}的通项公式，最后利用等比数列的求和公式即可求得c1+c2c3+…+c2012．
【解析】
（1）因为a1=1，则a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，
又等差数列{an}的第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b2=a2=3，b3=a5=9，
∴数列{bn}的公比为3，
则bn==3•3n-2=3n-1．
（2）由①
当n=1时，=a2=3，∴c1=3，
当n＞1时，++…+=an②
①-②得 =an+1-an=2（n+1）-1-（2n-1）=2 
∴cn=2bn=2•3n-1（n＞1），而c1=3不适用该通项公式．
∴cn=．
∴c1+c2+c3+…c2012=3+2•3+2•32+…+2•32011
=1+2•1+2•3+2•32+…+2•32011=1+2•=32012．