Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

Answer

（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，满足定理所需条件；
（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．
证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴A1ACC1是平行四边形，
∴A1C1∥AC且A1C1=AC，
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO且O1C1=AO，
∴AOC1O1是平行四边形，
∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1；
（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，
又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，
同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，
∴A1C⊥面AB1D1