Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

Answer

（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c
因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，
所以，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，，f（x）=x3-6x2+cx
f′（x）=3x2-12x+c=3（x-2）2+c-12
（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．
（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．
不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．
当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x1）内为增函数；
当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；
当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．
因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．
于是g（t）的定义域为（2，+∞）．
由f′（t）=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t．
于是g（t）=f（t）=t3-6t2+ct=-2t3+6t2，t∈（2，+∞）．
当t＞2时，g′（t）=-6t2+12t=6t（2-t）＜0
所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）