Question

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm³．设圆柱的底面直径为4x（cm），工艺品的表面积为S（cm²）．
（1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

Answer

（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．设圆柱的高为h（cm）．通过试工艺品的体积，求出圆柱的高于底面半径的关系，然后写出S关于x的函数关系式；
（2）利用（1）的表达式，通过导数，求出极值点，说明高、底面半径、球的半径的数值使工艺品的表面积最小．
【解析】
（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．
设圆柱的高为h（cm）．因为工艺品的体积为34πcm3，所以，
所以，所以工艺品的表面积为

=
=
由x＞0且h=，得0
所以S关于x的函数关系式是S=17π，
（2）由（1）知，令S'=0，得x=1．
当0＜x＜1时，S'＜0，所以S关于x∈（0，1]是单调减函数；
当1＜x＜时，S'＞0，所以S关于x∈是单调增函数．
所以，当x=1时，S取得最小值=51π，此时h=4．
答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm2．