Question

设a＞0，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=3时，函数 f（x）取得极值，证明：当．

Answer

（1）根据函数求导公式求函数的导数，根据导数值的正负判断函数的单调性．
（2）根据x=3时函数取极值得x=3是导数值为零，求出a，再根据函数的导数求出函数的极值，进而求出函数的最值，根据两最值的差最大证明|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
（2分）
（1）当a≥4时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）当0＜a＜4时，令f'（x）＞0，即（x-2）2+a-4＞0，
解得．
因此，函数f（x）在区间内单调递增，在区间内也单调递增．
令f'（x）＜0，即（x-2）2+a-4＜0，
解得．
因此，函数f（x）在区间内单调递减．（7分）
（Ⅱ）当x=3时，函数f（x）取得极值，即f'（3）=0，
∴32-4×3+a=0，∴a=3．
由（Ⅰ）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，3）单调递减，（3，+∞）单调递增．
f（x）在x=1时取得极大值；
f（x）在x=3时取得极小值，
故在[1，3]上，f（x）的最大值是，最小值是；
对于任意的x1，x2∈[1，3]，|f（x1）-f（x2）|≤．（11分）
当时，cosθ，sinθ∈[0，1]，1+2cosθ，1+2sinθ∈[1，3]
从而；|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3（13分）