Question

已知曲线C₁：（e为自然对数的底数），曲线C₂：y=2elnx和直线l：y=2x．
（1）求证：直线l与曲线C₁，C₂都相切，且切于同一点；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于M，N，P，记f（t）=|PM|-|NP|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值；
（3）设直线x=e^m（m=0，1，2，3┅┅）与曲线C₁和C₂的交点分别为A_m和B_m，问是否存在正整数n，使得AB=A_nB_n？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． （本小题参考数据e≈2.7）．

Answer

（1）欲证明：直线l与曲线C1，C2都相切，且切于同一点，只须根据切线的斜率分别求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用斜率为2即可求出两个切点坐标．从而问题解决．
（2）先利用线段的长度表示出函数f（t），再利用导数研究函数的单调性，求出f（t）的导数，根据f′（t）＞0求得的区间是单调增区间，最后求出最大值即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在正整数n，使得AB=AnBn，再设AnBn为g（n），利用导数研究函数g（n）的单调性，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）证明：由得x=e（2分）
在C1上点（e，2e）处的切线为y-2e=2（x-e），即y=2x（3分）
又在C2上点（e，2e）处切线可计算得y-2e=2（x-e），即y=2x
∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e，2e）（4分）
（2）（6分）
∴f（t）在[e-3，e3]上递增
∴当t=e3时（8分）
（3）
设上式为g（n），假设n取正实数，则•
当n∈（0，1）时，g′（n）＜0，∴g（n）递减；
当n∈（1，+∞），g′（n）＞0，∴g（n）递增．（12分）
g（1）=2e-2e=0
∴不存在正整数n，使得g（m）=g（0）
即AnBn=AB．（14分）