Question

设函数在[1，+∞）上是增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，因为函数在[1，+∞）上是增函数，即导函数大于等于0对x属于[1，+∞）恒成立，令导函数大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒数，求出x倒数的最大值即可得到实数a的范围；
（2）设x等于，由b大于0，a大于1，得出大于1，根据函数在[1，+∞）上是增函数，得到f（）大于f（1），化简可得；设G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的导函数，根据x大于1得到导函数大于0，所以G（x）为增函数，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到，综上，得证．
【解析】
（1）对x∈[1，+∞）恒成立，
∴对x∈[1，+∞）恒成立，
又，
∴a≥1为所求；
（2）取，
∵，
一方面，由（1）知在[1，+∞）上是增函数，
∴
∴
即；
另一方面，设函数G（x）=x-lnx（x＞1），
，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函数且在x=x处连续，又G（1）=1＞0，
∴当x＞1时，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即，
综上所述，．