Question

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间；
（2）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，求证：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer

（1）求出f′（x）=3x2+2ax+b，由题知f′（1）=0，f（1）=-2代入即可求出a和b；然后令导函数=0求出驻点，分区间讨论出函数的增减性区间；
（2）设出直线BD的解析式因为D为交点，把D点坐标代入得到xD+2xB+a=0，同理有xA+2xC+a=0，有xA+2xC+a=0，由于AC平行于BD，因此f′（xB）=f′（xC），得到，分别求出得比值为1：2：1即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+b，
依题意有
从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或
由于f（x）在x=1处取得极值，
因此，得到c≠-31若，
即c＜-3，则当x∈（-∞，1）或时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和，单调递减区间为；
若，即c＞-3，
则当或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0，
因此f（x）的单调递增区间为和（1，+∞），单调递减区间为．
（2）设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）
即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）
得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0从而xD+2xB+a=0，
同理有xA+2xC+a=0，由于AC平行于BD，
因此f′（xB）=f′（xC），
得到
进一步化简可以得到，
从而xA-xB=xC-xD
又（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），
因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1