Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）．
（1）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．

Answer

（1）由对数的意义，确定函数h（x）的定义域，再验证h（-x）与h（x）的关系，即可得到结论；
（2）确定函数h（x）的解析式，从而可得对数不等式，利用对数函数的单调性，即可求得使h（x）＞0成立的x的集合．
【解析】
（1）由题意得1+x＞0，即x＞-1，∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
1-x＞0，即x＜1，∴函数g（x）的定义域为（-∞，1），
∴函数h（x）的定义域为（-1，1）．
∵对任意的x∈（-1，1），-x∈（-1，1），
h（-x）=f（-x）-g（-x）=loga（1-x）-loga（1+x）=g（x）-f（x）=-h（x），
∴h（x）是奇函数．           …（6分）
（2）由f（3）=2，得a=2．
此时h（x）=log2（1+x）-log2（1-x），
由h（x）＞0即log2（1+x）-log2（1-x）＞0，
∴log2（1+x）＞log2（1-x）．
由1+x＞1-x＞0，解得0＜x＜1．
故使h（x）＞0成立的x的集合是{x|0＜x＜1}． …（12分）