Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，求出数列{an}的递推关系式，再求，得道常数，即可证明．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{an}的递推公式，代入bn+1=an+bn（n∈N*），可得数列{bn}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{bn}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）证明：由Sn=4an-3，n=1时，a1=4a1-3，解得．
因为Sn=4an-3，则Sn-1=4an-1-3（n≥2），
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4an-4an-1，
整理得．又a1=1≠0，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）【解析】
因为，
由bn+1=an+bn（n∈N*），得．
可得bn=b1+（b2-b′1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{bn}的通项公式为．