Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（1）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

Answer

（1）由b1+b3=5，b1b3=4，且b1＜b3可求b1，b3，进而可求公比q，代入等比数列的通项公式；由an=log2bn+3=n+2，要证明数列{an}是等差数列，只要证明an+1-an=d（d为常数）；
（2）根据等差数列的前n项和公式得出…+am=9+≤48，解出m范围即可得出答案．
【解析】
（1）∵b1+b3=5，b1b3=4，且b1＜b3
∴b1=1，b3=4
∴q=2
∴bn=2n-1
∵an=log2bn+3=n+2，
∵an+1-an=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴an=3+（n-1）×1=n+2
所以数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得…+am=9+≤48

即9+≤48
整理得m2+5m-84≤0
解得：-12≤m≤7
∵m∈N*
∴mmax=7