Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，若{a_n+1-a_n}是等差数列，{b_n+1-b_n}是等比数列．
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使a_k-b_k∈（0，），若存在，求满足条件的所有k值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用{an+1-an}是等差数列，知其公差为1，可得其通项，利用{bn+1-bn}是等比数列，知其公比，可得数列的通项，利用叠加法，即可求数列的通项；
（2）假设k∈N*存在，使ak-bk=∈（0，），结合整数的性质，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，a2-a1=-2，a3-a2=-1
∵{an+1-an}是等差数列，∴知其公差为1，
故an+1-an=-2+（n-1）•1=n-3                …（1分）
∵b2-b1=-2，b3-b2=-1，{bn+1-bn}是等比数列
∴其公比为，
故bn+1-bn=                               …（2分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）•（-2）++6= …（4分）
bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1==2+23-n…（6分）
（2）假设k∈N*存在，使ak-bk=∈（0，），
则0＜＜
即k2-7k+13＜24-k＜k2-7k+14    
∵k2-7k+13与k2-7k+14是相邻整数
∴24-k∉Z，这与24-k∈Z矛盾，所以满足条件的k不存在    …（12分）