Question

将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列a₁₁，a₂₁，a₂₂，a₃₁，a₃₂，…．若所得数列构成一个等差数列，且a₁₁=2，a₃₃=12，则
①数阵中的数a_ii可用i表示为    ；
②若a_mn+a_{（m+1）（n+1）}=a_{（m+2）（n+2）}，则m+n的值为    ．

Answer

①不妨设等差数列a11，a21，a22，a31，a32，…为{bn}，则由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2，故bn=2n．而 aii可为等差数列{bn}中的第1+2+3+…+i= 个，由此可得 aii 的值．
②先求出amn=m2-m+2n．再由已知的等式化简可得 m2-3m-4+2n=0，由于n＞0，可得m2-3m-4＜0，解得m的范围，结合 m≥n＞0，可得m和n的值，从而求得 m+n的值．
【解析】
①不妨设等差数列a11，a21，a22，a31，a32，…为{bn}，则由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2．
故bn=2n．
而 aii可为等差数列{bn}中的第1+2+3+…+i= 个，∴aii =2×=i（i+1）=i2+i，
故答案为 i2+i．
②由题意可得，amn=b1+2+3+…+（m-1）+n=2[1+2+3+…+（m-1）+n]=m2-m+2n．
∴a（m+1）（n+1）=（m+1）2-（m+1）+2（n+1），a（m+2）（n+2）=（m+2）2-（m+2）+2（n+2）．
再由 amn+a（m+1）（n+1）=a（m+2）（n+2），
可得 m2-m+2n+（m+1）2-（m+1）+2（n+1）=（m+2）2-（m+2）+2（n+2），
化简可得 m2-3m-4+2n=0，由于n＞0，∴m2-3m-4＜0，解得-1＜m＜4，
∴m=1，2，3，再由 m≥n＞0，可得，∴m+n=5，
故答案为 5．