Question

已知数列{A_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足下列条件
①∀_n∈N^*，a_n≠0；
②点P_n（a_n，S_n）在函数f（x）=的图象上；
（I）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（II）求证：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．

Answer

（I）由题意，当n≥2时an=Sn-Sn-1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{an}为等比数列或等差数列，从而可求得通项an，进而求得Sn；
（II）分情况讨论：当当an+an-1=0时，，计算可得|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，从而易得|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|的值；当an-an-1-1=0时，，利用两点间距离公式可求得|Pn+1Pn+2|，|PnPn+1|，对|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|化简后，再放缩即可证明结论；
（I）【解析】
由题意，
当n≥2时an=Sn-Sn-1=，
整理，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
又∀n∈N*，an≠0，所以an+an-1=0或an-an-1-1=0，
当an+an-1=0时，a1=1，，
得，；
当an-an-1-1=0时，a1=1，an-an-1=1，
得an=n，．
（II）证明：当an+an-1=0时，，
|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，所以|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0，
当an-an-1-1=0时，，
|Pn+1Pn+2|=，|PnPn+1|=，
|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=-
=
=，
因为＞n+2，＞n+1，
所以0＜＜1，
综上0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．