Question

已知函数f（x）=cos²x-2asinx+a-1，a∈R．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求f（x）在x∈[]上的最大值m（a）．

Answer

（1）当a=0时求出f（x），利用公式可得周期，由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得f（x）的增区间；
（2）设t=sinx，则，则原函数可转化为关于t的二次函数h（t）=-t2-2at+a，分对称轴在区间[-，]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，结合图象可得m（a）；
【解析】
（1）当a=0时，．
易得周期T=π，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π得，，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为．    
（2）将函数f（x）=cos2x-2asinx+a-1变形为f（x）=-sin2x-2asinx+a，．
设t=sinx，则，即求函数h（t）=-t2-2at+a在上的最大值m（a）．
①当时，h（t）在上单调递减，∴．      
②当时，h（t）在上单调增，∴；
③当时，∴m（a）=a+a2．           
综上所述，．