Question

给出下列4个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，则△ABC是钝角三角形；
④若cos（A-C）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题是（ ）
A．①③
B．③④
C．①④
D．②③

Answer

①由于sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即得A与B两角的关系，进而判断出三角形的形状；
②由于sinA=cosB=sin（±B）则A=（±B）或A+（±B）=，即得A与B两角的关系，进而判断出三角形的形状；
③由题意知cosA，cosB，cosC中必有一个为负数，则△ABC必有一角为钝角；
④由于|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，再由三角形内角范围，可求出各个角大小．
【解析】
①由于sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故①错；
②由于sinA=cosB=sin（±B），即sinA=sin（±B），则A=（±B）或A+（±B）=，则A-B=或A-B=0或A+B=，故②错；
③由于cosAcosBcosC＜0，则cosA，cosB，cosC中必有一个为负数，不妨设cosA＜0，则角A为钝角，故△ABC是钝角三角形，即③正确；
④∵|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1
又∵A、B、C＜180°∴A-B=B-C=C-A=0°
∴A=B=C=60°∴△ABC是等边三角形，故④正确
故答案为 B．