Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上．
（1）写出S_n关于n的函数表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）计算T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|；
（4）已知，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用点（n，）（n∈N*）均在函数y=-x+12的图象上，可得=-n+12，由此可求Sn关于n的函数表达式；
（2）再求一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（3）利用T16=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a6-a7-…-a16=2（a1+a2+a3+…+a6）-（a1+a2+a3+…+a6+a7+…+a16），即可求得结论；
（4）=-n，若对一切n∈N*均有Sn-3＜m•bn成立，即为-n2+12n-3＜-mn对一切n∈N*均成立，由此可得实数m的取值范围．
【解析】
（1）由题意，∵点（n，）（n∈N*）均在函数y=-x+12的图象上，∴=-n+12
∴Sn=-n2+12n；
（2）当n=1时，an=a1=S1=11；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-n2+12n）-[-（n-1）2+12（n-1）]=-2n+13，
∴n=1时，结论成立
∴an=-2n+13；
（3）T16=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a6-a7-…-a16=2（a1+a2+a3+…+a6）-（a1+a2+a3+…+a6+a7+…+a16）
=2S6-S16=136；
（4）=-n，若对一切n∈N*均有Sn-3＜m•bn成立，即为-n2+12n-3＜-mn对一切n∈N*均成立…（10分）
即对一切n∈N*均成立
∴m＜-…（12分）