Question

已知函数f（x）=x³-mx+5，x∈R，在x=处取得极值．
（Ⅰ）过点A（1，0）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求出f'（x），因为函数在x=±处取得极值，即得到f'（）=f'（-）=0，代入求出m得到函数解析式，然后判断点A（1，0）不在曲线上，设切点为M（x，y），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，则y=f（x）图象与y=a图象必有3个不同的交点，a应该介于函数的极小值与极大值之间．
【解析】
（I）f'（x）=3x2-m，依
题意，f'（）=f'（-）=0，
即 3（）2-m=0解得m=6．
∴f（x）=x3-6x+5，曲线方程为y=x3-6x+5，设切点为M（x，y），
则点M的坐标满足y=x3-6x+5．因f'（x）=3（x2-2），
故切线的方程为y-y=3（x2-2）（x-x）
注意到点A（1，0）在切线上，有0-（x3-6x+5）=3（x2-2）（1-x）
解得x=1或x=-．
所以，切点为M（1，0），此时切线方程为y=-3x+3；
或切点为M（-，），此时切线方程为y=-x+；
（II）对函数f（x）=x3-6x+5求导，得函数f′（x）=3x2-6
令f′（x）＞0，即3x2-6＞0，解得x＞，或x＜-f′（x）＜0，即3x2-6＜0，解得-＜x＜f′（x）=0，即3x2-6=0，解得x=，或x=-，
f（-）=5+4 ，f（ ）=5-4 ，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-）及（ ，+∞），单调递减区间是（-，）
当x=-，f（x）有极大值5+4 ；当x=，f（x）有极小值5-4
当5-4 ＜a＜5+4 时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，此时方程f（x）=a有3个不同实根．
∴实数a的取值范围为（5-4 ，5+4 ）．