Question

已知函数
（1）讨论函数f（x）的极值情况；
（2）设g（x）=ln（x+1），当x₁＞x₂＞0时，试比较f（x₁-x₂）与g（x₁-x₂）及g（x₁）-g（x₂）三者的大小；并说明理由．

Answer

（1）对函数求导，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函数的单调区间，结合函数的单调性，求函数的极值
（2）当x1＞x2＞0时，要比较①f（x1-x2）=，②g（x1-x2）=ln（x1-x2+1）及③g（x1）-g（x2）=ln（x1+1）-ln（1+x2）的大．比较①与②，利用构造函数h（x）=ex-1-ln（1+x），（x＞0），通过研究研究函数的单调性来比较．比较②与③，利用做差比较大小．
【解析】
（1）【解析】
当x＞0时，f（x）=ex-1在（0，+∞）单调递增，且f（x）＞0；
当x≤0时，f'（x）=x2+2mx．
①若m=0，f′（x）=x2≥0，f（x）=在（-∞，0）上单调递增，且．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函数，无极植；
②若m＜0，f′（x）=x（x+2m）＞0，则f（x）=在（-∞，0）单调递增，同①可知f（x）在R上也是增函数，无极值；（4分）
③若m＞0，f（x）在（-∞，-2m）上单调递增，在（-2m，0）单调递减，
又f（x）在（0，+∞）上递增，故f（x）有极小值f（0）=0，（6分）
（2）【解析】
当x＞0时，先比较ex-1与ln（x+1）的大小，
设h（x）=ex-1-ln（x+1）（x＞0）
h′（x）=恒成立
∴h（x）在（0，+∞）是增函数，h（x）＞h（0）=0
∴ex-1-ln（x+1）＞0即ex-1＞ln（x+1）
也就是f（x）＞g（x），对任意x＞0成立．
故当x1-x2＞0时，f（x1-x2）＞g（x1-x2）（10分）
再比较g（x1-x2）=ln（x1-x2+1）与g（x1）-g（x2）=ln（x1+1）-ln（x2+1）的大小．
g（x1-x2）-[g（x1）-g（x2）]
=ln（x1-x2+1）-ln（x1+1）+ln（x2+1）
=
∴g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）
∴f（x1-x2）＞g（x1-x2）＞g（x1）-g（x2）．（13分）