Question

设f（n）=1+++…+（n∈N^*）．
求证：f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）．

Answer

首先检验当n=2时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的不小于2的自然数结论都成立．
证明：当n=2时，左边=f（1）=1，
右边=2[1+-1]=1，左边=右边，等式成立．
假设n=k时，结论成立，即f（1）+f（2）+…+f（k-1）=k[f（k）-1]，
那么，当n=k+1时，
f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=k[f（k）-1]+f（k）=（k+1）f（k）-k
=（k+1）[f（k+1）-]-k
=（k+1）f（k+1）-（k+1）
=（k+1）[f（k+1）-1]，
∴当n=k+1时结论仍然成立．
∴f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n[f（n）-1]（n≥2，n∈N*）