Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率K_ON；
（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式：=cosθ+sinθ成立．

Answer

（1）设出椭圆的焦距，利用离心率求得a和c的关系进而求得a和b的关系，把右焦点F的坐标代入直线AB的方程，利用韦达定理求得x1+x2的表达式，进而求得ON的斜率．
（2）根据题意可知与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．设出M的坐标利用1）中各点的坐标整理求得x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．代入椭圆的方程整理求得λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．利用（1）中x1+x2和x1•x2的表达式代入整理求得x1x2+3y1y2=0，进而把A，B的坐标代入椭圆的方程，联立方程求得λ2+μ2=1，设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，则可推断出λ=cosθ，μ=sinθ．进而判断出对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：=cosθ+sinθ成立．
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，因为，
所以有，故有a2=3b2．从而椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2①
易知右焦点F的坐标为（），
据题意有AB所在的直线方程为：②
由①，②有：③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：．
所以，即为所求．
（2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，
有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．
设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
所以x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．
又点在椭圆C上，所以有（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2
整理为λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：．
所以

=3b2-9b2+6b2=0⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x12+3y12）=3b2，（x22+3y22）=3b2⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．
对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，
而λ2+μ2=1
在直角坐标系x-o-y中，取点P（λ，μ），
设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，显然λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角θ（θ∈R）使等式：=cosθ+sinθ成立．