Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）先利用F2是抛物线C2：y2=4x的焦点求出F2的坐标，再利用|MF2|=以及抛物线的定义求出点M的坐标，可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程；
（Ⅱ）先利用，以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同，设出直线l的方程，把直线方程与椭圆方程联立得到关于A，B两点坐标的等式，整理代入，即可求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）由C2：y2=4x知F2（1，0）．
设M（x1，y1），M在C2上，因为，
所以，得，．M在C1上，且椭圆C1的半焦距c=1，
于是
消去b2并整理得9a4-37a2+4=0，解得a=2（不合题意，舍去）．
故椭圆C1的方程为．
（Ⅱ）由知四边形MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O，
因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
故l的斜率．设l的方程为．
由
消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），，．
因为，所以x1x2+y1y2=0．
x1x2+y1y2
=x1x2+6（x1-m）（x2-m）
=7x1x2-6m（x1+x2）+6m2
==．
所以．此时△=（16m）2-4×9（8m2-4）＞0，
故所求直线l的方程为，或．