Question

设a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca≥3，证明a⁵+b⁵+c⁵+a³（b²+c²）+b³（c²+a²）+c³（a²+b²）≥9．

Answer

依题意，原命题等价于（a3+b3+c3）（a2+b2+c2）≥9，利用（a3+b3+c3）2≥9，结合已知即可证得结论．
证明：原命题等价于（a3+b3+c3）（a2+b2+c2）≥9，…（3分）
又（a3+b3+c3）2≥9，…（6分）
故只需要证明a2+b2+c2≥3成立．…（9分）
∵a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）≥6．
∴a2+b2+c2≥3成立．
故原结论成立．（12分）