Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

Answer

（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用等体积法建立等量关系，可求得点A到平面PCD的距离．
【解析】
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=，
cos∠PBO=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD=OB=，
在Rt△POC中，PC=，
所以PC=CD=DP，S△PCD=•2=．
又S△=，
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD•OP=S△PCD•h，
即×1×1=××h，
解得h=．