Question

已知函数．
（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）因为，x＞0，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
【解析】
（1）因为，x＞0，则，（1分）
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，
所以解得．
（2）不等式，即为，记，
所以=
令h（x）=x-lnx，
则，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
所以k≤2．