Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F₂且垂直于长轴的弦长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁作直线l，交椭圆于P，Q两点，若，求直线l的倾斜角．

Answer

（1）设椭圆的标准方程为．右焦点F2（c，0），把x=c代入椭圆方程得，解得．可得．利用离心率计算公式及a，b，c的关系可得，解出即可．
（2）设直线l与椭圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2）．分当直线l的斜率为0和不为时讨论，斜率不为0时设直线l的方程为my=x+1，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用数量积，即可得出．直线l的斜率为0时比较简单．
【解析】
（1）由题意可设椭圆的标准方程为．
右焦点F2（c，0），把x=c代入椭圆方程得，解得．
∴．
联立，解得．
∴椭圆的标准方程为．
（2）设直线l与椭圆的交点P（x1，y1），Q（x2，y2）．
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x+1．
联立，得（2+m2）y2-2my-1=0．
∴，．
∵2==（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（my1-2，y1）•（my2-2，y2）=（m2+1）y1y2-2m（y1+y2）+4，
∴2=，
化为m2=1，解得m=±1，
∴直线l的斜率k==±1．
设直线的倾斜角为α，则tanα=±1．
∴或．
②当直线l的斜率为0时，P，Q．
==-1≠2，不符合题意，应舍去．
综上可知：直线l的倾斜角α为或．