Question

已知函数f（x）=sinxcosx-cos²x-，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB-2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．

Answer

（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可求出f（x）的最小值，以及最小正周期；
（2）由f（C）=0，及（1）得出的f（x）解析式求出C的度数，利用正弦定理化简已知等式得到a与b的关系式，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值即可．
【解析】
（1）f（x）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π；
（2）∵f（C）=sin（2C-）-1=0，即sin（2C-）=1，
∵0＜C＜π，-＜2C-＜，∴2C-=，∴C=，
∵sinB-2sinA=0，
由正弦定理=，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理，得9=a2+b2-2abcos，即a2+b2-ab=9，②
解方程组①②，得．