Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer

（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．
解析：（1）f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得或；
由f′（x）＜0解得，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为；
f（x）的单调减区间为．
（2）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=3×（-1）2-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3x2-3，
由f′（x）=0解得x1=-1，x2=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．