Question

如图，AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M与x轴的最短距离．

Answer

设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3，如图，A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′．
F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=，．又M是线段AB的中点，利用梯形的中位线定理可得，解出即可．
【解析】
设A、M、B三点的纵坐标分别为y1、y2、y3，如图，
A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′．
F为抛物线的焦点．连接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
由抛物线的定义可知：|AF|=|AA′|=，．
∴，．
又M是线段AB的中点，∴=．
当且仅当AB过焦点F时，等号成立．
即当定长为a的弦AB过焦点F时，弦AB的中点M与x轴的距离最小，最小值为．