Question

已知函数f（x）=2cos．
（1）设x∈，且f（x）=+1，求x的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=+1，且△ABC的面积为，求a+b的值．

Answer

（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
【解析】
（1）f（x）=2cos2-2sincos=（1+cosx）-sinx=2cos（x+）+，
由2cos（x+）+=+1，得cos=，
于是x+=2kπ±（k∈Z），
∵x∈[0，]，∴x=；
（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=，
∵△ABC的面积为，∴=absin，即ab=2，①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos=a2+b2-6，
∴a2+b2=7，②
由①②可得或，
则a+b=2+．