Question

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

Answer

（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．
【解析】
（1）由条件，得A=2，．（2分）
∵，∴．（4分）
∴曲线段FBC的解析式为．
当x=0时，．又CD=，∴．（7分）
（2）由（1），可知．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．（8分）
设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为
=．（13分）
∵，故取得最大值．（15分）