Question

在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）．将△ABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连接B'C（如图2）．

（1）若平面AB'D⊥平面AD C，求三棱锥B'-AD C的体积；
（2）记线段B'C的中点为H，平面B'ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；
（3）求证：AD⊥B'E．

Answer

（1）要求三棱锥的体积，关键要确定高与底面，由于平面AB'D⊥平面AD C，则可让△ADC为底，B'到面ADC的距离为高，即要找到过B'点的AD的垂线即可；
（2）此问是要证明线线平行，又知l为平面B'ED与平面HFD的交线，故可证HF∥面B'ED，再用线面平行的性质定理即得证；
（3）要证AD⊥B'E，可用线面垂直的性质定理，即让AD垂直于B'E所在的其中一个平面即可．
【解析】
（1）在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD．
又∠B=60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连接B'O，∴B'O⊥AD．
∵面AB'D⊥面ADC，面AB'D∩面ADC=AD，B'O⊂面AB'D，
∴B'O⊥面ADC．
在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，D为BC的中点，
∴AC=，B'O=，∴．
∴三棱锥B'-ADC的体积为V=．
（2）∵H为B'C的中点，F为CE的中点，∴HF∥B'E，
又HF⊈面B'ED，B'E⊂面B'ED，∴HF∥面B'ED，
∵HF⊂面HFD，面B'ED∩面HFD=l，∴HF∥l．
（3）由（1）知，B'O⊥AD．∵AE=，，∠DAC=30°，
∴=，
∴AO2+EO2=AE2，∴AD⊥EO
又B'O⊂面B'EO，EO⊂面B'EO，B'O∩EO=O，∴AD⊥面B'EO，
又B'E⊂面B'EO，
∴AD⊥B'E．