Question

如图所示，角A为钝角，且，点P，Q分别在角A的两边上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且，求sin（2α+β）的值．

Answer

（1）利用余弦定理列出关系式，将cosA，AP与AQ的值代入计算即可求出PQ的长；
（2）由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用三角形的内角和定理及诱导公式变形求出sin（α+β）与cos（α+β）的值，将所求式子变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．
【解析】
（1）∵A是钝角，cosA=-，AP=5，AQ=2，
在△APQ中，由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP•AQcosA，
∴PQ2=52+22-2×5×2×（-）=45，
∴PQ=3；
（2）∵α为三角形的角，cosα=，
∴sinα==，
又sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=，cos（α+β）=cos（π-A）=-cosA=，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=×+×=．