Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）求证：＜5．

Answer

（1）由Sn=2an-2，分别令n=1，2，3可求a1，a2，a3
（2）n≥2时，由an=sn-sn-1可得an=2an-1，结合等比数列的通项公式可求an，然后由b1=a1且b1，b3，b11成等比数列可求公差d，进而可求通项
（3）令Tn=，代入结合项的特点考虑利用错位相减求和先求出左边的式子的和，然后可证明
（本题满分14分）
【解析】
（1）∵Sn=2an-2，
∴当=1时，a1=2a1-2，解得a1=2；
当n=2时，S2=2+a2=2a2-2，解得a2=4；
当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3-2，解得a3=8．-----------------（3分）
（2）当n≥2时，an=sn-sn-1=2an-2-（2an-1-2）=2an-2an-1，-----（5分）
得an=2an-1又，a1=2，
∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为．-----------------（7分）
b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列
得（2+2d）2=2（2+10d），-----------------（8分）
解得d=0（舍去）或d=3，----------------（9分）
∴bn=3n-1．-----------------（10分）
（3）令Tn=
=，
∴2Tn=，-----------------（11分）
两式式相减得=2+
=5-，-----------------（13分）
又＞0，故：＜5．．-----------------（14）