设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MM1|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2-ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.
【解析】
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中,2|MM1|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,
|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab
配方得,|AB|2=(a+b)2-ab,
又∵ab≤() 2,
∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
所以≤=,
即的最大值为.
故答案为:.