Question

已知抛物线C₁：y=x²，F为抛物线的焦点，椭圆C₂：（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF|=，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C₁交于A，B两个不同的点，l与椭圆C₂交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设出M的坐标，利用|MF|=，及椭圆方程，即可求实数a的值；
（2）设出直线方程，分别与抛物线、椭圆方程联立，求出R，S的坐标，利用=0，结合条件，即可求得结论．
【解析】
（1）设M（x，y），|MF|=y+=，y=，x2=，代入+=1，+=1，
∴a2=，又0＜a＜2，∴a=；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点R（xR，yR），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x2-kx-1=0，
x1+x2=k，
y1+y2=k（x1+x2）+2=k2+2，∴R（）
设P（x3，y3），B（x4，y4），PQ中点S（xS，yS），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k2+a2）x2+4kx+2-2a2=0，
∴x3+x4=，y3+y4=k（x3+x4）+2=，
∴S（，），
由条件知，=0，∴=0，
∴-2k2+a2（k2+2）=0，
∴a2=2-，
∵，∴
∴∈，
∴a2∈（），
又0＜a＜2，∴a∈，此时△＞0恒成立