Question

已知抛物线C：y²=4x，过点A（x，0）（其中x为常数，且x＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x=1，M₁，M₂，M₃为抛物线C上的三点，且△M₁M₂M₃的重心为A，求线段M₂M₃所在直线的斜率的取值范围．

Answer

（1）设出直线PD的方程，令y=0，求出x，设l：y=k（x-x），代入抛物线方程，化简即可得到结论；
（2）设：y=kx+m，代入抛物线方程，利用韦达定理及重心坐标，求出M1的坐标，利用M1在抛物线y2=4x上，即可求得结论．
（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则D（x2，-y2），直线PD的方程为，
令y=0，x===，
设l：y=k（x-x），代入抛物线方程，得到ky2-4y-4kx=0，∴y1y2=-4x
∴x=x，即B（x，0）为定点；
（2）【解析】
A（1，0），设：y=kx+m，M1（x1′，y1′），M2（x2′，y2′），M3（x3′，y3′），M2M3中点E（xE′，yE′），
：y=kx+m代入抛物线方程，可得k2x2+（2km-4）x+m2=0，
∴x1′+x2′=，
∴y1′+y2′=，
∴E（，），
∵2=，∴M1（3-，-），
∵M1在抛物线y2=4x上，
∴
∴3k2+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k2＜2，
∴k2＞2，
∴或．