Question

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

首先分析题目任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x，y）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．
对于②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于||AB||．成立，故可得到答案．
【解析】
对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x，y），x在x1、x2之间，y在y1、y2之间，
则||AC||+||CB||=|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||．成立故正确．
对于②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③在△ABC中，||AC||+||CB||=|x-x1|+|y-y1|+|x2-x|+|y2-y|≥|（x-x1）+（x2-x）|+|（y-y1）+（y2-y）|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||．③不正确．
∴命题①成立，
故选B．