由已知中正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,M为BD'的中点,点N在A′C'上,且|A'N|=3|NC'|,我们可以以D为原点建立空间坐标系,并根据正方体的几何特征,求出各点的坐标,然后将M,N的坐标代入空间两点距离公式,即可求出答案.
【解析】
以D为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为a,
所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C'(0,a,a),D'(0,0,a).
由于M为BD'的中点,取A'C'中点O',所以M(,,),O'(,,a).
因为|A'N|=3|NC'|,所以N为A'C'的四等分,从而N为O'C'的中点,故N(,,a).
根据空间两点距离公式,可得.