Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，b₄=8，{a_n}的前10项和S₁₀=55．
（1）求a_n和b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）依题意，由S10=10×1+=55可求得d=1，又a1=1，从而可求an，同理可求得bn；
（2）由（1）得an•bn=n•2n-1，利用错位相减法即可求得数列{an•bn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，依题意得S10=10×1+=55，（2分）
解得d=1，又a1=1，
所以an=n．（4分）
设数列{bn}的公比为q，∵b1=1，b4=8，依题意得b4=b1q3=q3=8，（5分）
解得q=2，所以bn=2n-1．（7分）
（2）由（1）得an•bn=n•2n-1，（8分）
所以Tn=1+2•21+3•22+…+n•2n-1①，（9分）
2Tn=2+2•22+…+（n-1）•2n-1+n•2n②，（10分）
①-②得，-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=-n•2n
=（1-n）•2n-1，（12分）
故Tn=（n-1）•2n+1．（13分）