Question

如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中点．
（1）求证：BC₁∥平面AFB₁；  
（2）求证：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer

（1）连接A1B与AB1交于点E，连接EF．利用正三棱柱的性质可得四边形ABB1A1是矩形，得A1E=EB．再利用三角形的中位线定理可得EF∥BC1．利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AFB1；  
（2）利用正三棱柱的性质可得AA1⊥底面A1B1C1，因此AA1⊥B1F．利用正三角形的性质及F是边A1C1的中点，可得B1F⊥A1C1．利用线面垂直的判定定理可得B1F⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定可得平面AFB1⊥平面ACC1A1．
证明：（1）连接A1B与AB1交于点E，连接EF．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，可得四边形ABB1A1是矩形，∴A1E=EB．
又A1F=FC1，∴EF∥BC1．
∵EF⊂平面AB1F，BC1⊄平面AB1F，
∴BC1∥平面AFB1；  
（2）由正三棱柱ABC-A1B1C1中，可得AA1⊥底面A1B1C1，∴AA1⊥B1F．
由F是正△A1B1C1的A1C1的中点，∴B1F⊥A1C1．
又A1A∩A1C1=A1，∴B1F⊥平面ACC1A1，
∴平面AFB1⊥平面ACC1A1．